統合領域・計算問題　1 / 5

第1問　光子線の水吸収線量

温度気圧補正、TPR、線形内挿を使い、校正深と最大線量深の水吸収線量を求めます。

問題

6 MV X線の水吸収線量を、円筒形電離箱を用いて測定した。

電離箱は水ファントム中の校正深 $d_c=10\ \mathrm{g/cm^2}$ に設置した。線源から電離箱の基準点までの距離は100 cm、電離箱の位置での照射野は $10\times10\ \mathrm{cm^2}$ とする。

測定条件は次のとおりである。数値と係数表は、この演習の条件として与える。

項目	値
校正深での補正前の電荷量 $M_{\mathrm{raw}}$	−30.00 nC
測定温度 $t$	24.0 ℃
測定気圧 $P$	100.00 kPa
校正定数の基準温度 $t_0$	22.0 ℃
校正定数の基準気圧 $P_0$	101.33 kPa
コバルト60での水吸収線量校正定数 $N_{D,w,Q_0}$	0.05400 Gy/nC
この測定条件に対応する校正深のTMR	0.780

測定温度は、水と十分に温度が一致した電離箱内の空気の温度とする。漏れ電流の影響は無視でき、極性効果補正係数・イオン再結合補正係数・電位計校正定数は、いずれも1.000とする。

別途、線質を調べるため、深さ10および20 $\mathrm{g/cm^2}$ で測定した。両測定で線源―電離箱間距離100 cm、電離箱位置での照射野 $10\times10\ \mathrm{cm^2}$ 、照射MUをそろえた。

測定深	必要な補正を済ませた電荷量の大きさ
10 $\mathrm{g/cm^2}$	20.00 nC
20 $\mathrm{g/cm^2}$	13.30 nC

本問では、この電荷量の比を線量比として扱う。線質変換係数は、次の表から線形内挿で求める。

線質指標 $TPR_{20,10}$	線質変換係数 $k_{Q,Q_0}$
0.650	0.993
0.680	0.989

以下を求めなさい。

温度気圧補正係数 $k_{TP}$
校正深での補正後の電荷量 $M_Q$
線質指標 $TPR_{20,10}$
線質変換係数 $k_{Q,Q_0}$
校正深の水吸収線量 $D_{w,Q}(d_c)$
同じMUを照射したときの、TMRに対応する最大線量深での水吸収線量 $D_{w,Q}(d_{\max})$

途中の計算では丸めず、最終答案は補正係数を小数第4位、電荷量・線量・TPRを小数第3位まで示す。温度気圧補正には273.2を用いる。

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解答・解説

1．温度気圧補正係数を求める

公式

k_{TP} = \frac{273.2+t}{273.2+t_0} \times \frac{P_0}{P}

数値の代入

k_{TP} = \frac{273.2+24.0}{273.2+22.0} \times \frac{101.33}{100.00} = 1.020165\ldots

結果

\boxed{k_{TP}=1.0202}

意味の説明

電離箱の内部には空気があります。同じ容積でも、温度や気圧によって内部の空気の密度が変わり、読み値に影響します。その違いを補うのが温度気圧補正です。

今回は基準より高温・低気圧なので、読み値を大きく補正する方向になります。温度には、摂氏の値同士の比ではなく、絶対温度の比を使います。

2．補正後の電荷量を求める

公式

M_Q = |M_{\mathrm{raw}}| \times k_{TP} \times k_s \times k_{\mathrm{pol}} \times k_{\mathrm{elec}}

数値の代入

本問では温度気圧補正以外の係数はすべて1.000です。途中で丸めないよう、温度気圧補正の式をそのまま代入します。

M_Q = 30.00 \times \frac{273.2+24.0}{273.2+22.0} \times \frac{101.33}{100.00} \times1.000\times1.000\times1.000

= 30.604955\ldots\ \mathrm{nC}

結果

\boxed{M_Q=30.605\ \mathrm{nC}}

意味の説明

表示値の「−」は電荷の符号です。本問の線量計算では、その大きさを使います。

ただし、絶対値を取る操作と極性効果補正は別です。今回は問題文で $k_{\mathrm{pol}}=1.000$ と指定されています。

3．線質指標を求める

公式

TPR_{20,10} = \frac{D_{20}}{D_{10}}

本問では、必要な補正を済ませた電荷量の比を線量比として扱うため、

TPR_{20,10} = \frac{M_{20}}{M_{10}}

となります。 $D_{20},D_{10}$ はそれぞれ深さ20、10 $\mathrm{g/cm^2}$ での線量、 $M_{20},M_{10}$ は対応する補正済み電荷量の大きさです。

数値の代入

TPR_{20,10} = \frac{13.30}{20.00} = 0.665

結果

\boxed{TPR_{20,10}=0.665}

意味の説明

$TPR_{20,10}$ は、定められた測定条件での「深さ20の線量÷深さ10の線量」です。X線の透過のしやすさを表す指標として使います。

添字の順番どおり、20の値を分子、10の値を分母に置きます。線質測定用の電荷量と、線量測定用の電荷量を混同しないようにします。

4．線質変換係数を線形内挿で求める

公式

求めたい線質指標を $x$ 、それを挟む表の値を $x_1,x_2$ 、対応する係数を $k_1,k_2$ とします。

r=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

k_{Q,Q_0}=k_1+(k_2-k_1)r

$r$ は、表の区間のどこまで進んだかを表す割合です。

数値の代入

r = \frac{0.665-0.650}{0.680-0.650} = \frac{0.015}{0.030} = 0.5

k_{Q,Q_0} = 0.993+(0.989-0.993)\times0.5 = 0.991

結果

\boxed{k_{Q,Q_0}=0.9910}

意味の説明

線形内挿とは、表の2点の間を直線と考えて、その途中の値を求める方法です。

今回は求めたいTPRが区間のちょうど半分にあるので、係数も0.993から0.989への変化の半分だけ進めます。単純平均が使えるのは、求めたい値がちょうど中間にある場合です。

電離箱の校正定数はコバルト60で与えられているため、今回のX線との線質の違いを、この係数で反映します。

5．校正深の水吸収線量を求める

公式

D_{w,Q}(d_c) = M_Q\times N_{D,w,Q_0}\times k_{Q,Q_0}

項	意味
$M_Q$	必要な補正を済ませた電荷量
$N_{D,w,Q_0}$	コバルト60の条件で、電荷量を水吸収線量へ換算する校正定数
$k_{Q,Q_0}$	コバルト60と測定対象のX線との線質の違いを反映する係数

数値の代入

途中で丸めていない値を使います。

D_{w,Q}(d_c) = 30.604955\ldots\times0.05400\times0.9910 = 1.637793\ldots\ \mathrm{Gy}

結果

\boxed{D_{w,Q}(d_c)=1.638\ \mathrm{Gy}}

意味の説明

補正した電荷量に、校正定数と線質変換係数を掛けることで、水吸収線量へ換算できます。

単位でも確認できます。

\mathrm{nC}\times\frac{\mathrm{Gy}}{\mathrm{nC}} = \mathrm{Gy}

校正定数がGy/nCで与えられているため、電荷量をCへ換算する必要はありません。

6．最大線量深の水吸収線量を求める

公式

TMR(d_c) = \frac{D_{w,Q}(d_c)} {D_{w,Q}(d_{\max})}

最大線量深の線量について整理すると、

D_{w,Q}(d_{\max}) = \frac{D_{w,Q}(d_c)}{TMR(d_c)}

数値の代入

D_{w,Q}(d_{\max}) = \frac{1.637793\ldots}{0.780} = 2.099735\ldots\ \mathrm{Gy}

結果

\boxed{D_{w,Q}(d_{\max})=2.100\ \mathrm{Gy}}

意味の説明

TMRが0.780とは、この測定条件で校正深の線量が最大線量深の線量の78％であることを表します。

「ある量の78％が校正深の線量なら、元の100％はいくらか」と考えるため、TMRで割ります。照射MUと、TMRを定義した線源―測定点間距離などの条件をそろえて換算します。

補足：線形内挿で、求めたい値が中間でない場合

同じ表で、TPRが0.660の場合を考えます。これは設問とは別の確認例です。

公式

k=k_1+(k_2-k_1)\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

数値の代入

k = 0.993+(0.989-0.993) \frac{0.660-0.650}{0.680-0.650}

= 0.993-0.004\times\frac{1}{3} = 0.991666\ldots

結果

\boxed{k=0.9917}

意味の説明

TPRが区間の3分の1の位置にあるので、係数も全体の変化量の3分の1だけ変化させます。計算後は、答えが表の2つの係数の間に入っていることも確認します。表の範囲の外を求める「外挿」とは区別します。

この問題の要点

温度気圧補正には絶対温度の比を使う。
$TPR_{20,10}$ は20の値を10の値で割る。
線形内挿では、区間を進んだ割合に応じて係数を変化させる。
最大線量深の線量へ換算するときは、本問のTMRで割る。